18/2/18

1297. Matemáticas cúbicas



Uns días atrás, nunha conversa de lecer, un compañeiro de instituto preguntábame se o cubo de Rubik tiña moito que ver coas Matemáticas. A resposta foi "si, por suposto". Ata aquí tampouco hai nada raro, porque calquera persoa que me faga esa mesma pregunta referida a outra cousa en vez de a un cubo de Rubik, a literatura sumeria clásica, por exemplo, vai ter a mesma resposta. Certo é que, no caso da literatura sumeria clásica, hai restos arqueolóxicos que confirman a miña resposta, unhas pequenas táboas de barro usadas como libros de exercicios de cálculo (xa vedes, había profesores de Mates ata nos inicios da civilización).


Pero volvendo un pouco ó inicio desta historia, imos ver como anda de Matemáticas este peculiar e fascinante obxecto inventado en 1974 por un profesor de Arquitectura húngaro, Ernö Rubik, que o deseñou como ferramenta auxiliar para as súas clases, e logo caeu na conta de ter inventado un interesante  rompecabezas. O obxectivo fundamental era traballar sobre as formas de construción de edificios tratando de modificar o menos posible a parte da edificación xa construída, e aínda que non chegou ó nivel de orixinalidade das Torres de Colón, superou de forma infinita a fama destas.

Non pasa de ser curioso observar que o Tetris tamén foi inventado no outro lado do Telón de Aceiro, neste caso na antiga Unión Soviética, tan só dez anos despois. Debía de ser unha vida moi aburrida a que se podía ter por alá, e co inmenso nivel matemático da época na zona, só podían saír cousas así, e tamén, por suposto, ata arriba de Matemáticas. Os tetraminós, no Tetris, pero esa é outra historia e deberá ser contada noutra entrada do blog, porque empeza a existir o risco habitual de seguir divagando e non entrar ó fondo do asunto.

Imos empezar cuns datos simples, para ir preparando o cerebro para o que virá máis adiante:

- O cubo de Rubik orixinal é un cubo de tres unidades de aresta, polo tanto sería equivalente a vinte e sete pezas cúbicas, cousa que en realidade non é así xa que no centro non hai peza, senón as engranaxes que o moven (un sistema ortogonal tridimensional), polo tanto son 26 pezas.

- Das 26 pezas do aparello, hai seis que sempre están ben colocadas, os centros de cada cara, aínda que poden xirar uns respecto a outros. O que nunca pode suceder é que centros de caras opostas deixen de estar enfrontados. Esto leva a que, realmente, o asunto se reduza a colocar vinte pezas no seu sitio.

- Cantas combinacións posibles hai de posicións do cubo?
Exactamente 43.252.003.274.489.856.000, o que fai que, se intentamos resolvelo movendo as pezas ó azar, sexa 0'3 billóns de veces máis difícil que gañar o premio máximo da Lotería Primitiva. (Por algunha estraña razón, sei resolver cubos de Rubik en menos de dous minutos e nunca me tocou o megapremio da Primitiva)

- Este montón de combinacións quedaría multiplicado por 12 se a forma de cambiar as cores de sitio fose simplemente cambiar pegatinas sen respetar os xiros do cubo.

- Rubik tardou un mes en resolvelo por primeira vez. Resolver o cubo en dous minutos é facil, outra cousa xa é que hai quen o resolve en menos de cinco segundos. Aquí podemos ver tal barbaridade.

- Para resolver o cubo son necesarios, como máximo, 20 movementos, o chamado número de Deus. Porén, a forma práctica de resolvelo, ben sexa por métodos de principiantes ou avanzados, soe levar máis, aínda que ó seren métodos sistemáticos, adoitan ser moito máis rápidos... para unha persoa.

Unha vez comentados estes detalliños, pasemos ás Matemáticas de ter que estudar en serio, as dos campións:

- As posicións posibles do cubo de Rubik son os 43 trillóns e pico que están por aí arriba, pero as posicións das pegatinas, sen variar os centros, son moitas máis, esto débese á chamada teoría de órbitas. Unha órbita e o conxunto de tódalas posicións posibles ás que se pode chegar desde unha posición dada. O interesante é que as órbitas que forman os xogos de combinacións son independentes, e dicir, non se pode pasar dunha a outra.

- O cubo de Rubik ten dúas órbitas, co cal existe a malvada posibilidade de intercambiar dúas pegatinas dunha peza e non poder chegar á solución correcta. Isto tamén nos permite saber se un cubo que foi desarmado previamente foi ensamblado de forma correcta.
Un xogo de dúas órbitas moi coñecido é o chamado xogo do 15, consistente nun cadrado con 15 pezas cadradas numeradas do 1 ó 15 que só poden moverse deslizando unha peza no oco que queda no cadrado. Podedes xogar aquí online ou descargar unha app. O de ter dúas órbitas fai que a metade das combinacións que se poden formar no taboleiro leven a unha configuración irresoluble, que foi o que no seu momento de máxima popularidade fixo que caera en picado.

- Unha das palabras que odian/temen todos aqueles que teñen feito un cubo de Rubik é paridade, que é a configuración que se dá nun cubo cun número de pezas par nas arestas (4, 6, 8...) cando queda todo resolto excepto dous vértices mal colocados ou un número par de pezas das arestas mal colocado. As permutacións (parte da teoría de grupos asociada a este puzzle) asociadas a un cubo estándar son sempre pares, polo que é imposible que se dean esas combinacións nun cubo 3x3 ou calquera de orde superior impar.

- Estes conceptos están enlazados co de simetría, tanto desde o punto de vista visual, que é moi evidente, como desde o matemático.

Se queredes ampliar e ler todo esto con máis detalles e explicacións, quedan aquí estes dous enlaces: Presentación ou artigo (o último con teoremas incluídos)

Recomendacións:
  • A primeira e evidente é que xoguedes con cubos de Rubik, desde o máis habitual a todo tipo de variacións. Por se necesitades axuda, queda aquí un vídeo-titorial con moi boas explicacións. E tede paciencia.
  • A segunda é unha novela con protagonista relacionado coas Matemáticas, en concreto coa criptografía: "El don" de Mai Jia.



30/12/17

1291. Os afronautas



Fai un par de meses, mentres perdía o tempo pola rede investigaba para outras entradas do blog, atopeime cunha historia cando menos curiosa sobre a que a fotoperiodista Cristina de Middel estivera traballando e, xunto con outros temas, rematou plasmando a súa creación nun libro.


A historia da exploración espacial empezou a crear heroes durante a Guerra Fría, e nomes propios como os de Glenn, Shepard, Gagarin e demais pronto pasaron a formar parte das respectivas maquinarias de propaganda soviética e americana. Outros tiveron menos sorte, como Vladímir Komarov, que que tivo a dubidosa honra de ser o primeira persoa en falecer nunha misión espacial, durante a atolondrada misión Soyuz I, na que todo foi mal desde o principio, pero a pesar de tódalas indicacións técnicas, o aparato do estado, necesitado de contrarrestar a carreira americana cun golpe de efecto, foi adiante cando o sentido común indicaba que o máis lóxico era un prudente aprazamento da mesma. Como resultado, o coronel, que tiña claro desde o principio que a cousa ía acabar mal, rematou a súa vida insultando e maldicindo por radio a tódolos que o escoitaban e podían pasar recado ó aparato do Partido, xusto ata estrelarse en Novogorsk e pasar á historia oficial como un mártir da URSS.


 (restos da Soyuz I, con Vladímir Komarov) 

No medio desta mestura de loita científica e desvarío das superpotencias, nas sedes do Programa Espacial Soviético e da NASA recibíronse en novembro de 1964 senllas cartas remitidas por Edward Mukuka Nkoloso, Ministro de Asuntos Estelares e Director do Programa Espacial (aí queda eso) de Zambia.
Nas cartas explicaba razoadamente que o home negro estaba máis capacitado que os brancos para a exploración espacial e, a cambio dun aporte de combustible para o programa espacial zambiano, ofrecía os seus servizos e coñecemento a favor das causas americana e/ou soviética. No seu defecto, en troques do combustible, tamén existía a opción de mandar un astronauta/cosmonauta daquel país para as misións espaciais das superpotencias. Iso si, coa condición de que a bandeira de Zambia fose a primeira en lucir na superficie dos potenciais novos mundos a conquistar, preferentemente Marte antes que a Lúa, xa que nesta non había "nada especialmente útil para a Humanidade". Toda un alarde de categoría épica para un país que levaba un mes escaso sendo independente, estreando o seu novo nome despois de ser Rhodesia do Norte baixo a colonización británica.


Non está claro cal foi a reacción nestes organismos, o que si se sabe é que non houbo resposta. Ante a falta de novas por parte das superpotencias, o ministro-director-etc. dirixiuse á UNESCO e á ONU, solicitando axuda para o seu programa espacial, poñendo como exemplo o despilfarro inxente de EE.UU. e a URSS. Como parte dunha campaña publicitaria (?) e política de portas abertas, o doutor Nkoloso recibiu a reporteiros de Associated Press e amosoulles os adestramentos que estaban facendo para o seu programa espacial, con doce persoas e dez gatos. Si, gatos; xa sabemos, culturas distintas, costumes distintos. O plan inicial era enviar a unha muller e un gato a Marte, o gato faría compañía durante a viaxe... e tamén sairía primeiro á superficie marciana para ver como se adaptaba antes de arriscar (aínda máis) a vida de Matha Mwamba, moza de dezaseis anos, a elixida para facer historia.

Resultado de imagen de programa espacial zambiaAquí podemos ver un artigo asinado polo visionario doutor Nkoloso onde expoñía o seu visionario proxecto.
Empezaba forte, dicindo que vía a Zambia do futuro máis forte que Rusia ou os Estados Unidos, sendo a súa capital, máis pronto que tarde, unha nova New York ou París.

Pola contra, o que atoparon os reporteiros, foi bastante menos prometedor, uns adestramentos de aspecto sumamente chapuceiro, unha falta de medios aterradora, pero iso si, un entusiasmo arrebatador, que xunto coa oleada de patriotismo da recén nacida nación, facía que aquel proxecto fose o que fose, tirara para diante dunha peculiar maneira. Nalgún caso, tiraba costa abaixo cun aspirante a astronauta metido nun barril.
Como é de supoñer, ós medios británicos, aínda escocidos pola descolonización e indepencia, faltoulles tempo para ridiculizar o proxecto e, de rebote, o país e a capacidade das novas nacións que estaban abandonando o Imperio Británico para converterse en nacións soberanas... a típica historia de pais e nais que levan moi mal a emancipación dos seus vástagos.

O futuro que Nkoloso predicía non parecía tan próximo vendo o que sucedía e naqueles tempos non podemos esquecer a dous actores tan omnipresentes como a CIA e o KGB, que tirando do fío e infiltrando xente chegaron a descubrir que, detrás de tal inmenso desvarío, o ministro Nkoloso tiña a un físico e enxeñeiro ruso de nome descoñecido, que baixo a disparatada apariencia doplan dos doce elixidos, misioneiro incluído para coidar das súas almas, e dez gatos, tiña un plan verdadeiro para chegar á Lúa. Se era viable ou non, nunca o saberemos, xa que o proxecto, aparte de ser ridiculizado por algún outro ministro, veuse abaixo co embarazo da adolescente elixida. Xa se sabe, o espazo tamén está influido polos asuntos terrenais e aquel mar de chapuzas non podía ter unha mellor guinda do pastel.

A partir de aquí, a historia vólvese máis confusa e hai varias versións de como acabou a cousa, sendo dúas delas as principais, aínda que non incompatibles:

a) A versión máis conspiranoica di que o proxecto seguiu adiante, cun espía infiltrado nunha operación conxunta de CIA e KGB, e finalmente, de acordo co previsto, un foguete despegou do norte de Lusaka cun tripulante e dous gatos a bordo, sendo abatido por misís soviéticos e os restos do artefacto capturados polo KGB, coa complacencia da CIA.

b) A versión máis práctica di que todo foi un clásico dos timos, como é esconder algo poñéndoo á vista de todo o mundo disfrazándoo de forma totalmente estrambótica e efectiva. Como nación de nova creación nun ambiente político sumamente favorable a esta dinámica histórica, Zambia era o lugar ideal para crear campos de adestramento para as guerrillas en países da contorna. Que mellor para evitar as miradas indiscretas que crear unha tapadeira absurda e estridente, que ocultaba a verdade que todos tiñan diante da cara, pero que non podían ver porque estaban demasiado ocupados ríndose daqueles soñadores ilusos mortos de fame?

Tamén pode ser que todo fose un absoluto disparate que atopou as condicións axeitadas para saír adiante durante un tempo e nada máis, pero o certo é que os afronautas quedaron na historia e que o doutor Nkoloso faleceu en 1989 sendo enterrado coa pompa dun xefe de estado, quen sabe se pola súa ousadía patriótica-científica ou polos seus discretos e meritorios esforzos en prol da loita contra os colonizadores de África.

Recomendación:

Podedes ver unha reportaxe sobre o soño de Mukuka Nkoloso neste enlace. E falando doutro proxecto de futuro, neste caso do dun neno franco-sirio nos anos 80, temos a novela gráfica de Riad Sattouf "El árabe del futuro", un retrato de Siria naquela época que nos axuda a entender algunhas das cousas que vemos hoxe.


4/12/17

1289. Bares, que lugares...


A semana pasada, despois de rematar unha das miñas interesantísimas clases, mentres estaba recollendo, apareceu un alumno (Alumno 1) doutro grupo co que quedara para revisar un exame. O de que o alumno me estivera buscando polo instituto (porque eu esquecera dicirlle onde quedabamos para revisar o exame) é un detalle insignificante, todo hai que dicilo. Que a nota do exame de Alumno 1 fose mellorable desde tódolos puntos de vista tampouco axudaba a facer do momento un encontro alegre e entrañable. En fin, que os profes repartimos a alegría do saber, pero ás veces só esa alegría e nada máis.

O detalle curioso é que viña acompañado por outro alumno (Alumno 2). Este detalle en si, non é moi curioso. O verdadeiramente curioso é que Alumno 2 forma parte do grupo no que tivera lugar a clase interesantísima e non estaba presente. Hai que recoñecer que os meus alumnos non terán outra cousa, pero boa educación, moita. Co cal, Alumno 2 achegouse e tivemos esta conversa:

- Hola, profe.
- Ola, e ti, onde andabas?
- Es que no vine a clase.
- Ah, xa. (se non chega a dicirmo, nunha clase con menos de dez alumnos, non sei se me decataría)
- Yo, a otras clases, falto, pero a la tuya, ya sabes que sólo si estoy enfermo. Pero hoy tenía que estudiar y estuve con Alumno 1.
- De acordo. Entón... el tampouco foi a clase, non?
- No. Es que tenemos la misma materia y queríamos preparar el examen, juntos.
- Eh...
- Y claro, nos quedamos en el bar.
- Ah...
- Pero estudiando, eh.
- Ah!
- Bueno, pues, hasta luego, profe.
- Si, eh... ata logo.

E así, pensando no irreal que ten a realidade as veces, marchei con Alumno 1 a revisar o seu desastroso exame, tan só comparable a nivel de desastre co que tamén fixo Alumno 2, que, por certo, desde entón aínda non apareceu por clase.
Ai, meu pobre! Estará enfermo?

Recomendación:


A pesar da inmensa preguiza que me contaxian os meus alumnos e á que contribúen os virus que estou pasando (e quen sabe se tamén o pobre Alumno 2), vou avanzando na lectura de "Circe ou o pracer do azul" de Begoña Caamaño. Novela interesante e con moito contido entre liñas.



12/11/17

1283. Novembro vermello (ou outubro... a saber)


Fai un días cumpríase o centenario da Revolución de Outubro de 1917 en Rusia. Ata aquí non teriamos nada raro se nos axustamos ó recordo das efemérides e enchemos o calendario con datos máis ou menos curiosos. O realmente notable desta efeméride é que ese "fai uns días" sitúase exactamente no 7 de novembro. No-vem-bro!

Que pasou logo?

Poderíase pensar, lendo libros sobre a historia daqueles tempos, que os rusos da época andaban tan revolucionados que xa non sabían en que mes vivían. Lembremos que no 1881, o zar Alexandre II foi asasinado, e 1905 foi un ano cunha revolución que obrigou á monarquía a aceptar unha orde constitucional, nun momento no que se tamén se libraba unha guerra con Xapón.

Con todos estes antecedentes, non se pode dicir que o país gozara de moita estabilidade, e para rematar o desastre, en 1917 estaban inmersos na Primeira Guerra Mundial, na que as cousas tampouco marchaban demasiado ben, e o zar Nicolás II fora forzado a abdicar despois da Revolución de Febreiro, que, para rematar de desorientarnos, foi en marzo!

Todo esto viña de case dous mil anos antes, da man de Xulio César serio por establecer un calendario unificado para todo o Imperio Romano, cousa que era moi útil e razoable, aínda que debido á falta de percorrido e perspectiva temporal, os románs non chegaron a percibir que a pesar do axuste dos anos bisestos, engadindo un día ó ano cada catro anos, o ano real ía desfasándose un pouquiño, cada vez máis ata chegar ó século XVI, no que científicos da Universidade de Salamanca, en 1515, advertiron á Igrexa que o paso da Terra polo mesmo punto da súa órbita respecto ó Sol (ano sideral) e a nosa forma de contabilizalo ía facendo que a Pascua non tivera unha data realmente fixa.
Como é habitual na relación entre ciencia e burocracia, o aviso, ou se perdeu polo camiño, ou foi ignorado. Aparentemente non debeu de ser tan ignorado, porque no Concilio de Trento, entre outras reformas, instábase a dar regularidade temporal ó ano litúrxico (calquera o diría vendo a Semana Santa, pero eso é outra historia e será contada noutro momento), sen admitir oficialmente que o tema non pasaba polas mans de Deus, senón que o que había que facer era que o ano do calendario se axustara o máis posible ó ano trópico.



E despois dun segundo intento (coñecido) por parte da Universidade de Salamanca, alá polo 1578, o papa Gregorio XIII promulgou a bula Inter Gravissimas, que foi o documento que regulou o novo calendario polo que debería rexirse a cristiandade. Aparte do funcionamento que coñecemos hoxe do calendario gregoriano, chamado así por este Papa, a consecuencia máis inmediata e espectacular foi a supresión de dez días do calendario para axustar o cómputo do tempo oficial ó tempo real. E aquí foi onde se montou o lío...

Ben sabido é que o reino de Deus non é desta Terra e, por dicilo suavemente, a autoridade do Papa non era universalmente recoñecida, nin tan siquiera en toda a cristiandade, polo que a implantación do calendario foi lenta e progresiva, impoñéndose máis por razóns de tipo práctico e comercial que polas de tipo espiritual.
En España, Italia e Portugal, a reforma fíxose efectiva o 4 de outubro de 1582, que foi seguido polo 15 de outubro. Como dato anecdótico, neste día morreu Santa Tareixa de Ávila, que recibiu sepultura en perfecto estado "once" días despois, ó día seguinte.

(Aquí vemos a Lenin explicando o desfase do calendario a uns proletarios)

No caso de Rusia, os cambios tardaron moito máis. Non sabemos se esta tardanza foi o que impulsou a Lenin a poñer orde no tema e se lle foi a cousa das mans, ou tal vez o retraso histórico que tiña o pobo ruso e que incidía nas malas condicións de vida tivo algo que ver, pero o que si está claro é que despois da Revolución de Outubro, en febreiro de 1918, Rusia adoptou o calendario que xa naquel momento era o estándar occidental, cambio que aínda tardou un par de anos máis en zonas da nacente Unión Soviética. Como dato interesante, nestes trescentos e pico anos que tardaron, acumularon tres días máis de desfase e o cambio foi pasar do 31 de xaneiro ó 14 de febreiro. E así queda explicado porque estas datas históricas teñen etiquetas confusas, e a manía dos rusos de deixar todo para fin de mes, que se fixeran a revolución nos idus dos románs, mataban xente igual (como ben comprobou Xulio César) e non tiñamos confusión nos libros de historia.

Dito sexa de paso, noutros países como Grecia, Rumanía, Iugoslavia e finalmente en 1926, Turquía, este cambio aínda foi posterior ó ruso/soviético. E por adornarse xa con piruetas, a Igrexa Ortodoxa desligou o calendario litúrxico do oficial e por iso vemos o desfase de festividades alá polo Nadal entre aqueles países e nós.

Se tedes curiosidade, podedes ver nesta ligazón, toda a cronoloxía do cambio de calendario.

Recomendación:


Xa que falamos da Revolución(s) de 1905, lembremos a película que fixo Eisenstein sobre un dos episodios máis recordados e engrandecidos anos máis tarde pola propaganda soviética, "O acoirazado Potemkin".
Podemos ver esta obra mestra do cine aquí.



7/5/17

1279. Solucionando un problema



Habitación escura, salvo a luz dun flexo apuntando á cara do ser aterrorizado que está sentado nunha cadeira de madeira, aterrorizado despois das longas de interrogatorio ó que vén de ser sometido por parte dos seus torturadores... non, para ser exactos esto non empeza así. Reiniciemos.

O alumno está sentado nunha cadeira da xefatura de estudos, nun ambiente relaxado e luminoso, tranquilo, poñendo cara de "que pinto eu aquí, que son máis inocente que Bambi?"; para abreviar trámites vou directo ó tema:
- Ola. Que pasou?
- Nada. ¿Por qué?
- A ver, non te botaron de clase?
- Ah, sí. Pero hay una explicación.
- Mmmm, dime...
- Vamos a ver, em... es que en clase había un problema.
- Si?
- La situación es que la profesora no podía dar clase... y tuvo que buscar una solución. Y eso.
- E a solución, foi botarte a ti de clase?
- Pues sí.
- Aaaah. E foi unha boa solución?
- Sí.
- E foi inxusta?
- No.

E unha vez máis, a infinita paciencia do xefe de estudos superou as probas do día a día sen matar a ninguén.

Recomendación:

Fai uns días que rematei de ler "Patria" de Fernando Aramburu. Só direi que merece moito a pena.
Para ser exactos, merece a pena moitísimo.