1297. Matemáticas cúbicas

Uns días atrás, nunha conversa de lecer, un compañeiro de instituto preguntábame se o cubo de Rubik tiña moito que ver coas Matemáticas. A resposta foi "si, por suposto". Ata aquí tampouco hai nada raro, porque calquera persoa que me faga esa mesma pregunta referida a outra cousa en vez de a un cubo de Rubik, a literatura sumeria clásica, por exemplo, vai ter a mesma resposta. Certo é que, no caso da literatura sumeria clásica, hai restos arqueolóxicos que confirman a miña resposta, unhas pequenas táboas de barro usadas como libros de exercicios de cálculo (xa vedes, había profesores de Mates ata nos inicios da civilización).

Pero volvendo un pouco ó inicio desta historia, imos ver como anda de Matemáticas este peculiar e fascinante obxecto inventado en 1974 por un profesor de Arquitectura húngaro, Ernö Rubik, que o deseñou como ferramenta auxiliar para as súas clases, e logo caeu na conta de ter inventado un interesante  rompecabezas. O obxectivo fundamental era traballar sobre as formas de construción de edificios tratando de modificar o menos posible a parte da edificación xa construída, e aínda que non chegou ó nivel de orixinalidade das Torres de Colón, superou de forma infinita a fama destas.

Non pasa de ser curioso observar que o Tetris tamén foi inventado no outro lado do Telón de Aceiro, neste caso na antiga Unión Soviética, tan só dez anos despois. Debía de ser unha vida moi aburrida a que se podía ter por alá, e co inmenso nivel matemático da época na zona, só podían saír cousas así, e tamén, por suposto, ata arriba de Matemáticas. Os tetraminós, no Tetris, pero esa é outra historia e deberá ser contada noutra entrada do blog, porque empeza a existir o risco habitual de seguir divagando e non entrar ó fondo do asunto.

Imos empezar cuns datos simples, para ir preparando o cerebro para o que virá máis adiante:

- O cubo de Rubik orixinal é un cubo de tres unidades de aresta, polo tanto sería equivalente a vinte e sete pezas cúbicas, cousa que en realidade non é así xa que no centro non hai peza, senón as engranaxes que o moven (un sistema ortogonal tridimensional), polo tanto son 26 pezas.

- Das 26 pezas do aparello, hai seis que sempre están ben colocadas, os centros de cada cara, aínda que poden xirar uns respecto a outros. O que nunca pode suceder é que centros de caras opostas deixen de estar enfrontados. Esto leva a que, realmente, o asunto se reduza a colocar vinte pezas no seu sitio.

- Cantas combinacións posibles hai de posicións do cubo?

Exactamente 43.252.003.274.489.856.000, o que fai que, se intentamos resolvelo movendo as pezas ó azar, sexa 0'3 billóns de veces máis difícil que gañar o premio máximo da Lotería Primitiva. (Por algunha estraña razón, sei resolver cubos de Rubik en menos de dous minutos e nunca me tocou o megapremio da Primitiva)

- Este montón de combinacións quedaría multiplicado por 12 se a forma de cambiar as cores de sitio fose simplemente cambiar pegatinas sen respetar os xiros do cubo.

- Rubik tardou un mes en resolvelo por primeira vez. Resolver o cubo en dous minutos é facil, outra cousa xa é que hai quen o resolve en menos de cinco segundos. Aquí podemos ver tal barbaridade.

- Para resolver o cubo son necesarios, como máximo, 20 movementos, o chamado número de Deus. Porén, a forma práctica de resolvelo, ben sexa por métodos de principiantes ou avanzados, soe levar máis, aínda que ó seren métodos sistemáticos, adoitan ser moito máis rápidos... para unha persoa.

Unha vez comentados estes detalliños, pasemos ás Matemáticas de ter que estudar en serio, as dos campións:

- As posicións posibles do cubo de Rubik son os 43 trillóns e pico que están por aí arriba, pero as posicións das pegatinas, sen variar os centros, son moitas máis, esto débese á chamada teoría de órbitas. Unha órbita e o conxunto de tódalas posicións posibles ás que se pode chegar desde unha posición dada. O interesante é que as órbitas que forman os xogos de combinacións son independentes, e dicir, non se pode pasar dunha a outra.

- O cubo de Rubik ten dúas órbitas, co cal existe a malvada posibilidade de intercambiar dúas pegatinas dunha peza e non poder chegar á solución correcta. Isto tamén nos permite saber se un cubo que foi desarmado previamente foi ensamblado de forma correcta.
Un xogo de dúas órbitas moi coñecido é o chamado xogo do 15, consistente nun cadrado con 15 pezas cadradas numeradas do 1 ó 15 que só poden moverse deslizando unha peza no oco que queda no cadrado. Podedes xogar aquí online ou descargar unha app. O de ter dúas órbitas fai que a metade das combinacións que se poden formar no taboleiro leven a unha configuración irresoluble, que foi o que no seu momento de máxima popularidade fixo que caera en picado.

- Unha das palabras que odian/temen todos aqueles que teñen feito un cubo de Rubik é paridade, que é a configuración que se dá nun cubo cun número de pezas par nas arestas (4, 6, 8...) cando queda todo resolto excepto dous vértices mal colocados ou un número par de pezas das arestas mal colocado. As permutacións (parte da teoría de grupos asociada a este puzzle) asociadas a un cubo estándar son sempre pares, polo que é imposible que se dean esas combinacións nun cubo 3x3 ou calquera de orde superior impar.

- Estes conceptos están enlazados co de simetría, tanto desde o punto de vista visual, que é moi evidente, como desde o matemático.

Se queredes ampliar e ler todo esto con máis detalles e explicacións, quedan aquí estes dous enlaces: Presentación ou artigo (o último con teoremas incluídos)

Recomendacións:

• A primeira e evidente é que xoguedes con cubos de Rubik, desde o máis habitual a todo tipo de variacións. Por se necesitades axuda, queda aquí un vídeo-titorial con moi boas explicacións. E tede paciencia.

• A segunda é unha novela con protagonista relacionado coas Matemáticas, en concreto coa criptografía: "El don" de Mai Jia.